Come ottenere la costante Pi Greco

Posted on 6 giugno 2021. Filed under: Senza categoria |

Un articolo per calcolare il Pi Greco? Vi starete dicendo che Piero è impazzito. Mai stato così lucido come ora…

Vi starete dicendo che lo sanno anche i gatti che Pi Greco vale circa 3 e magari qualcuno si ricorda che vale 3,14.

Ma non è esattamente 3,14. E’ una costante ma possiamo usare diversi metodi per ottenere con precisione il valore di Pi Greco.

Vedremo in questo articolo come ottenere il valore 3,141592653589795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 etc etc etc

Intanto diamo una definizione di Pi Greco. Cosa è il Pi Greco?

Nella geometria piana il Pi Greco viene definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, o anche come l’area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono il Pi Greco usando le funzioni trigonometriche

Il Pi Greco è conosciuto anche come costante di Archimede (da non confondere con il numero di Archimede) e costante di Ludolph o numero di Ludolph. Il Pi Greco non è una costante fisica o naturale, ma una costante matematica definita in modo astratto, indipendente da misure di carattere fisico.

La formula più semplice per otteberlo è questa: =4*ARCTAN(1) anche se ha una logica non corretta, ma matematicamente dà il valore corretto.

Il codice in VB.NET sarà quindi: Dim pg = 4 * Math.Atan(1)

Il risultato è:

image

Altro metodo facile è 2: * Math.Asin(1)

Oppure ancora: 2 * (Math.Asin(Math.Sqrt(1 – 1 ^ 2)) + Math.Abs(Math.Asin(1)))

Esistono poi delle formule più specifiche che vedremo e partono da un numero che dà un risultato. Questo risultato sarà usato per riapplicare quella specifica formula e avere un risultato più preciso da riusare e così via.

Sono delle interazioni e quando arriveremo al risultato che sarà uguale a quello precedente significa che avremo ottenuto il risultato.

Oppure con selle sequenze numeriche dove più si procede con la sequenza maggiore sarà la precisione.

Vediamo quali sono queste formule e come applicarle.

Serie di Gregory-Leibiniz:

=4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13-4/15 e così via. Per arrivare a una precisione di 10 cifre decimali dovremo arrivare a 500.000 interazioni.

Scriviamo il codice VB.NET:

Dim pigreco As Double = 0
For t = 1 To 2000000 Step 4
        pigreco = pigreco + 4 / t – 4 / (t + 2)
Next

 

Alla prima iterazione pigreco vale 2.66, alla 2° iterazione vale 2.895, alla 3° 2.976 e così via. Ho messo l’arrivo dopo 2.000.000 perché nel ciclo incremento t di 4 unità e quindi sono 500000 cicli.

con t=500 arriviamo a 3.140793931672452, con t=5.000 pigreco vale 3.14119297334996, con t= 100.000 pigreco vale 3.1415726543897491.

Alla fine arrivo con un Pi greco pari a 3.1415916535897743

 

La settima cifra decimale non è ancora precisa. Aumentiamo il numero dei cicli e arriviamo a 10 milioni, sul mio pc è solo questioni di secondi.

Un miliardo di iterazioni sono 3.1415926515892578

A cento miliardi (una decina di minuti di elaborazione) pigreco vale 3.1415926535685275

 

Vediamo infine la serie di Nilakantha.E’ più veloce della formula si Leibiniz.

Per calcolare questa formula, parti da tre e inizia ad alternare somme e sottrazioni di frazioni in cui il numeratore è 4 e il denominatore è il prodotto di tre numeri interi consecutivi che vengono incrementati ad ogni nuova iterazione. Il denominatore di ogni frazione successiva è il prodotto di tre numeri, il primo dei quali è il più alto della frazione precedente.

=3 + 4/(2*3*4) – 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) – 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) – (4/(12*13*14) e così via.

Il codice corrispondente è:

Dim pigreco As Double = 3
For tr = 2 To 100000000000 Step 4
        pigreco = pigreco + 4 / (tr * (tr + 1) * (tr + 2)) – 4 / ((tr + 2) * (tr + 3) * (tr + 4))
Next

Anche qua faccio l’iterazione fino ad arrivare a tr=100 miliardi, impiegando un terzo del tempo della formula di Leibiniz..

Il risultato finale sarà: 3.1415926535897869 diventando anche più preciso a parità di numero di iterazioni.

Concludendo, abbiamo visto come grazie alla programmazione, possiamo ottenere con un valore molto preciso il Pi Greco.

 

Nei prossimi articoli vedremo altri teoremi matematici come possono essere risolti con l’informatica.

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